Ikertestvérével, Istvánnal együtt 1947 őszén, a Budapesti Előre Sport Clubban jelentkezett először edzésre. Később az FTC versenyzője lett, 25 éves kajakos pályafutása pedig tele volt fantasztikus sikerekkel.
„(…) szerencsére olyan versenyzők voltak akkor a BKV Előrében, akik színvonalat képviseltek. Varga Ferenc, aki jóval idősebb volt nálunk, később pedig a vetélytársunk lett, az edzőpartnereinek fogadott el bennünket. (…) Segített abban, hogyan evezzünk, koordinálta a mozgásunkat. Ő, a sporttársunk, volt az igazi edzőnk, az egész pályafutásunkat neki köszönhetjük!” – nyilatkozta az „Ahogy tőlünk telt” könyvben a kezdetekről.
A testvérpár már 19 évesen részt vett az 1952-es olimpiai válogatókon. György egyesben ezer és tízezer méteren is győzött, emellett párosban is ők érték el a legjobb eredményt Istvánnal. Helsinkibe azonban csak Györgyöt szerették volna kivinni az akkori vezetők, aki viszont fivére nélkül nem volt hajlandó indulni és lemondta a szereplést.
Az 1954-es maconi világbajnokságon aranyérmet szereztek K-2 1000 méteren, ez volt a sportág történetének első magyar vb-címe. Később mindketten okleveles mérnökök lettek, István 1958-tól már a civil életét helyezte előtérbe.
Mészáros György ezután egy ifjú tehetséggel, Szente Andrással ült össze, akivel az 1960-as római olimpián ezüstérmes lett K-2 1000 méteren, csupán néhány századdal lemaradva az aranyról. Az olasz fővárosban Mészi tagja volt a szintén második 4x500 méteres váltónak is.
Szentével 1959 és 1966 között minden évben magyar bajnokságot nyertek ötszáz párosban, de ezren is eredményesek voltak. Ugyancsak 1959-ben mindkét távon Európa-bajnoki címet szereztek. Mészáros György 1968-ig minden világversenyről éremmel tért haza. Minden távon és hajóegységben nyert magyar bajnoki címet - összesen 41-et -, az utolsót 1973-ban, 40 évesen, K-4 10000 méteren (Madarasi Gyula, Mészáros György, Vargha Csongor, Nagy Tibor).
Visszavonulása után rövid ideig az FTC kajak-kenu szakosztályának vezetőedzője volt, majd 1993-as nyugdíjazásáig a Húsipari Trösztnél dolgozott. Imádott öccse 1994-ben hunyt el, míg György hosszan tartó betegség után, 2015. szeptember 14-én, 82 éves korában távozott.
„Mindig dúdoltam magamban. Olyan ritmusérzékem volt, hogy az állandó csapásszámot tudott biztosítani. Nem érdekelt semmi, csak mentem a saját ritmusomban.”
Emlékét örökre megőrizzük.
