Fábián László 1936-ban született Budapesten. Édesapja pék volt, s egész fiatal korától ő is az üzemben dolgozott, saját bevallása szerint így tett szert jó fizikai alapokra. Az akkori felfogás szerint nagyon fiatalon, csupán tizenöt évesen kezdett kajakozni a Budapesti (Újpesti) Dózsában, a korábbi sokszoros bajnok Varga Ferenc hatására (akivel egy házban laktak), és tizenhét évesen már a válogatott tagja volt.
Ekkor ragadt rá az Öcsi becenév, mert idősebb társai csak így szólították. 1954-ben kijutott a maconi világbajnokságra, ahol negyedik lett hosszútávú négyesben és abban az évben magyar bajnokságot is nyert a 10000 méteres kajak négyes tagjaként. Ez az egység, amelynek Urányi János is tagja volt, 1955-ben 1000 méteren győzött, ekkor tanácsolta edzőjük, Gelle Sándor, hogy Fábián László társuljon a nála tizenkét évvel idősebb, “Öregként” emlegetett Urányival, mert mindketten kitartóak, szorgalmasak voltak, és kimagasló állóképességgel rendelkeztek. Párosuk sikeresnek bizonyult, 1956-ban megnyerték az 500, az 1000 és a 10 0000 méteres magyar bajnokságot is.
Az 1956-os melbourne-i olimpián győzni tudtak az akkor utoljára megrendezett kajak kettes 10 000 méteres versenyszámban és ezzel a sportág első magyar olimpiai győzelmét aratták. Ráadásul úgy végeztek az első helyen, hogy a forradalom miatt a felkészülés utolsó szakaszában nem is edzhettek vízen. Urányival 1960-ban is a római olimpia esélyesének számítottak, de az olaszok a tízezer méteres számokat nem rendezték meg. A hosszú táv ezután már nem került vissza az ötkarikás játékok programjába, így Fábián László és Urányi János a 10000 méteres páros versenyszám utolsó győztesének is vallhatja magát.
Összesen huszonhárom magyar bajnokságot nyert, a világ- és Európa-bajnokságokon tizenhat érmet – köztük 11 aranyat – nyert különböző társakkal.
Versenyzői pályafutása befejeztével edzőként tevékenykedett, előbb az UTE majd az MTK szakosztályában. Tanítványai kiemelkedő eredményeket értek el az olimpiákon és a világbajnokságokon is – többek közt a háromszoros olimpiai bajnok Storcz Botond, aki ma szövetségi vezetőedző.
Fábián Lászlót 2006-ban a Magyar Köztársasági Érdemrend tisztikeresztjével, 2012-ben Gerevich Aladár-emlékéremmel tüntették ki, 2016-ban megkapta a Magyar Olimpiai Bizottság (MOB) fair play bizottságának életműdíját. Az UTE megújult Tímár utcai vízitelepe 2014-től Urányi és Fábián nevét viseli. Az olimpiai bajnok felesége, Rozsnyói Katalin is sikeres edző, aki olimpiai és világbajnokok sorát nevelte ki.
Isten éltesse, Öcsi bácsi!
